理工的人往往只知科技的俗世價值，而鮮少知道19世紀末的數學崩解危機、廿世紀「搶救數學根基」的革命，以及這場革命如何質疑（顛覆）康德哲學，直探人類知識論的底層，甚至使得數學博士胡賽爾（E Husserl）警覺到歐洲整個科學根基與人文精神的危機，並且因而開創了現象學。
此外，量子力學與相對論的革命也是直探人類知識原理的底層（根基），動搖康德哲學。這是數學與物理最搖搖欲墜（康德哲學也跟著傾倒），也最輝煌燦爛的精神與情感巔峰，吸引並造就了多位天才，讓人熱情激盪，滿懷理想。
本文旨在談論這一段歷史，用以說明科學的巔峰如何激盪人心，如何抵於「終極事物的終極關懷」。
數學的「神聖」地位：理性主義的磐石
千古以來，所有人類文明都想知道（擁有）千古不變的「真理」，也各自發展出各種探索、追求與核驗「真理」的方法與判準。然而在廿世紀之前，唯一始終經得起考驗的唯有希臘幾何學與數學。
希臘的歐式幾何學有一個很重要的特色：它從「有理性的人都無法否認」的「自明的公理」出發，歷經「有理性的人都無法否認」的「邏輯演繹」，而到達「有理性的人都無法否認」的「結論」（等待被證明的命題）。
這三個特色讓它在希臘眾說紛紜的各種主張、學說、詭辯中獨樹一幟，成為人類理性第一個完美的典型，以及追求真理的榜樣。因此，傳說中柏拉圖學園的門口寫著「不懂幾何學者勿進此門。」
到了中世紀，幾何學不只是「七藝」（文法、修辭、辯證、算術、幾何、天文、音樂）之一，還被第六世紀神學家 San Isidro 視為比文法（形式句法）、修辭（文史素養）、辯證（邏輯推理）更高級的「四術」之一。
後來，伽利略根據金星的相變化和太陽的黑子活動推斷出不僅地球繞著太陽公轉，而且太陽還會自轉。這些都違背教會的信仰，卻也都吻合「日心說」。由於他的證據確鑿且推論過程極端嚴謹，因而歐洲學術界逐漸接受他的論述，而他也譽滿歐洲。後來他把這一切的成果歸功於幾何學，並且在1623年出版的《試金石》（The Assayer）中自豪地宣告：「自然哲學已被寫在這部宏偉的巨著──宇宙──之中，供我們隨時凝視、閱讀。然而我們必須先學會它所採用的語言和字母，否則就無法理解它。它是用數學的語言撰寫的，它的字母是三角形、圓形以及其他各種幾何圖形。若不懂它們，人類便不可能理解其中任何一個字；沒有了它們，人類就會迷失在幽暗的迷宮裡。」
此外，牛頓在1687年出版其曠世巨著《自然哲學的數學原理》時，整本書的風格也是模仿歐式《幾何原本》，充滿定義、公理、命題與證明。
當代人或許會覺得更匪夷所思的是，史賓諾莎的名著《倫理學》（1677）不但全名是《以幾何順序證明的倫理學》，而且全書模仿歐式幾何原本的風格，充滿了定義、公理、命題與證明。
事實上，笛卡兒的名著《第一哲學沉思集》（1641年）也是充滿幾何學的影子——他從懷疑一切開始，直到他找到「絕不容懷疑」的第一個事實（我在思考，所以我必然存在；即便當我對此有所懷疑時，也必然有一個「懷疑中」的我存在，因此我必然存在），然而企圖從這個基礎出發，通過「絕不容質疑」的思辨過程，往下推論出其他「確鑿不疑的命題」，這整個過程完全是在模仿幾何學「從無可質疑的公理出發，通過絕不容質疑的思辨與推理過程，逐步建構出絕不容質疑的所有命題」。
笛卡兒的影響所及之處，哲學的任務不再是像希臘形上學那樣欠缺系統嚴謹性地企圖建構難以確知其真假的「形上學體系」，也不是以聖經與思辨為準地建構出許多明顯悖逆經驗事實的經院哲學，而是先集中心力去找到「確鑿不疑的第一原理」，來作為哲學「千古不移的磐石」；以便後人可以在這礎石上搭建起屹立不搖的哲學大廈（而不是像希臘哲學與中世紀士林哲學那樣地「浮沙建塔，疊床架屋」）。
也就是說，幾何學不只是古典物理學的「工具」，還是整個十七世紀（人文與自然科學尚未分家）所有思想家（與學者）公認的「探究真理的最可靠思維方式（與程序）」。
到了1761年，法國天文學家已經證實牛頓力學可以用來精確估測哈雷慧星的重返日期（誤差19天，約莫是彗星週期的一千五百分之一）——參見《科學的能與不能》第5章。
此後，自然科學被普遍認定為具有「預測（預知）」的能力。啟蒙運動時期的無數思想家更是對於藏在自然科學背後的「理性的力量」懷有無比信心。譬如，Laplace 就在 A Philosophical Essay on Probabilities（1814）這本書裡設想一個有無限分析能力的精靈（常被稱為「Laplace's demon」）：如果這個精靈知識整個世界（大至每顆星體，小至每顆原子）的現況（初始條件），他就可以清楚看見整個世界全部的未來。
然而思緒敏銳的休姆（David Hume）卻在《人類理解研究》（An Enquiry concerning Human Understanding，1748）裡從自然科學賴以建立的根基處徹底質疑歸納法的有效性，他說：「『明天太陽不會升起』這個命題，並不比『明天太陽會升起』這個命題更難理解，也絲毫不比後者包含更多的邏輯矛盾。」也就是說，我們沒有理由堅持「適用於過去的規律必然也可以適用於未來」。
康德由此警覺到：經驗科學並非永恆的真理。但是，幾何學（數學）並非經驗知識，它們依舊有可能是永遠為真（至少在過去一千多年內未曾被發現有錯，未來也難以想像會有錯）：因為幾何學打從一開始就排除所有現象與經驗知識的干擾，甚至拒絕仰賴圓規與直尺來求解答，而只把他們當作輔助工具。
基於這個信心，康德將知識分為經驗知識和「先驗知識」（與經驗無關，且先於經驗），並且在《純粹理性批判》（1781）裡建立了範疇論，又以幾何學與算數為例，推斷出人類理性有「先驗綜合」（synthetic a priori）的能力，可以藉此發展「先驗知識」與「超驗（transcendental）知識」（實質上等於是理性所能及的「真知」與「真理」）。
到了十八、十九世紀之交，數學家高斯將幾何學與數學譽為「科學之后」，因為所有嚴格的科學都是「數學之子」。
然而高斯與當時所有的哲學家很可能都沒有想到：一旦數學的根基被動搖（而傾倒、崩解），所有的科學都將跟著被動搖（傾倒、崩解），甚至連帶地康德的範疇論、先驗綜合與《純粹理性批判》裡的許多信念也將跟著被動搖（傾倒、崩解）。
十九世紀的數學危機與觀念革命
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777－1855）被譽為史上最偉大的數學天才，他試圖將平面幾何的「公理」數量化減到最少。這過程中他發現平行公理很特別，如果試圖消除它，就必須另外引入一個新的公理「三角形內角和等於180度」（如果把「三角形內角和等於180度」當自明的公理，則可以證明「過線外一點只有一條線跟它平行」）。後來他產出一個念頭：如果把平行公理改成「過線外一點有無限條直線跟它平行」，並且維持其他幾何公理不變，結果會怎樣？他的猜測是：這個改變將會產出一整套新的幾何學（又稱「正曲率空間」的非歐幾何），其中每一個定理都跟歐式幾何學一一對應（譬如，三角形的三內角和將會變成 >180度)。
他把這想法告訴他的博士生黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866），結果黎曼果然推導出一套全新的幾何學，每一個歐式幾何中有的定理，在這一套新的幾何學都有一個對應的定理，而且果然可以證明「三角形的三內角和 >180度」。而且，不久後從俄國傳來消息：數學家羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856）早就已經建構過另一個新的幾何學體系（又稱「負曲率空間」的非歐幾何），他假定「過線外一點沒有任何直線跟它平行」，從而產出一整套新的幾何學，其中每一個定理都跟歐式幾何學一一對應（譬如，三角形的三內角和將會變成 <180度)。
現在問題來了，根據希臘以來的幾何學精神，幾何學的基礎在於「自明的公理」。然而目前看來，如果用三角形的三內角和當公理，將會有三種選擇：<180度，=180度，>180度；並且可以據此證明出三個不一樣的平行定理「過線外一點沒有（有且唯有一條，或無限多條）任何直線跟它平行」。問題是：「三角和的三內角和到底等於多少」這個問題根本沒有「自明」的答案！
沿著這個方向思索下去，「過線外一點唯有一條直線跟它平行」真的是「自明」到「有理性的人都不得不接受」的程度嗎？似乎不然！
緊接著，如同骨牌效應一般，問題再往上升一級：我們的直覺（直觀的明析性）真的絕對可靠，絕對不會錯嗎？就像行星軌道的形狀，中世紀神學認定：「天體的運行是永恆的，唯有沿著完美的軌道運行才有機會永遠地運行下去，而圓形是最完美的幾何形狀，因此天體的運行軌道必然都是完美的圓形」。這個論證過程中的每一句在直觀上看起來都是完美無瑕，不容質疑，卻偏偏已經被克卜勒（Johannes Kepler，1571-1630）證明是錯的（事實上軌道是橢圓形）。
緊接著，問題再往上升一級：如果我們直觀中所有明析到「有理性的人都不得不接受」的「真理」都不必然絕對不會錯，我們如何確定幾何學是絕對不會錯的「真理」？
連帶地，又產出一個問題：假如「直觀的明析性」不是建立數學大廈的最佳磐石（礎石），應該要把幾何學給建立在怎樣的基礎上，才可以（至少有機會）確保它「永遠屹立不搖」？
面對這個問題，被譽為「現代數學之父」的德國數學家希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）倡議：從新建立一整套幾何學體系，完全不仰賴「直觀的明析性」，而是把所有必須要用的名詞全部明確（explicitly）地定義過，也把所有要用的「公理」當成「公設」（axioms），明確地陳述過（但是不再堅持它們是「有理性的人都不得不接受」），以便在這個基礎上建立起一套完備（complete）的幾何學體系。也就是說，幾何學不再是自明，也不再是「真理」，而只是一套邏輯上沒有任何矛盾的邏輯演繹體系。至於你要假定過線外一點有幾條平行線，隨便你。在他的巨著《幾何學基礎》（The Foundations of Geometry，1902）他把這個思想表述得最清晰、透徹而淋漓盡致，讀起來真的讓人精神昂揚，激盪不已。這本書也同時是當代「公設化數學」（aximotic mathematics）的代表性奠基之作。
然而對於哲學問題夠敏感的人馬上警覺到，這是數學界「哲學立場」的根本性轉變（從「自明的公理」變成「僅僅只是一個人為的假設，不涉及真假、對錯」）。然而，當數學不再是「必然為真」的「真理」時，康德的範疇論、先驗綜合、先驗知識與超驗邏輯還能成立嗎？康德對於理性的龐大信心需要被徹底檢驗嗎？譬如，後來的維也納學派就認定康德所「誤以為」是「先驗綜合」的命題其實在嚴密的邏輯分析後都顯示實質上是「先驗分析」，然而「先驗分析」只是把原有誰誤內隱含（implicit）的意義「換句話說」成外顯的（explcit）意思（譬如，「正三角形三新共點」這個陳述早已隱含在「正三角形」的定義裡，並非新的知識），並沒有形成任何新的知識，因此所有的知識最終都是由經驗事實與邏輯演繹所構成，並沒有所謂的「先驗知識」。
也就是說，當數學的「自明」的基礎倒蹋時，整個數學作為「真理」的那一部分也瞬間化為灰燼而只剩一對人為的假定（不必然為真）和邏輯演繹，連帶地整個康德的先驗哲學也跟著徹底動搖（崩潰）。
這（公設化幾何與公設化數學）也標示著數學的核心觀念從過去（古典）的「確鑿不疑的真理」變成了現代數學的「僅只是一組公設及其邏輯演繹的結果，與『真理』無關」。
然而，當數學陷入最徹底的危機時，人類「追求真理，絕不自欺」的精神卻也達到最巔峰，同時人類對自己的能力極限也達到最清晰的自覺與自知。這是一場「自毀性的進步與革命」，毀棄的是人類的千年幻覺（過度誇大直觀與理性的可靠性），進步的是人類對自己極限的認知和自覺。
廿世紀的數學觀念革命
當數學界認定「直觀的明析性」已經不足以作為數學確鑿不疑的礎石後，整個數學的地基都必須被重新打造。連什麼是「1」，什麼是「+」都需要有精準而「絕不容含混、誤會、歧義」的理解，才能確保後來的邏輯演繹過程中絕對不會出現任何因爲定義含糊（仰賴「明晰的直觀」）而導致的錯誤。
以平面幾何為例，希爾伯特在《幾何學基礎》演示了一整套重建的計劃、觀念和程序。後來數學界延續這個方向思考下去，發現（認為）所有的數學問題都可以從集合論出發（包括最簡單的「數」、「算數」與其他代數、拓樸問題），重新定義所有的名詞、公設並繼而建構起整個數學體系。
以平面幾何為例，希爾伯特在《幾何學基礎》演示了一整套重建的計劃、觀念和程序。後來數學界延續這個方向思考下去，發現（認為）所有的數學問題都可以從集合論出發（包括最簡單的「數」、「算數」與其他代數、拓樸問題），重新定義所有的名詞、公設並繼而建構起整個數學體系。
然而這個被稱為公設化數學或「形式主義」（formalism）的運動卻很快地出現兩大難題。
其一，哥德爾（Kurt Gödel）在1931年發表論文證明了著名的「不完備定理」：如果一個公設化系統在推導過程中言個遵守一致性（系統內沒有矛盾），則該系統不可能具備完備性（意思是，我們總是可以根據該系統的公設化原則去創製出一個命題，然而卻無法用該系統的建構原則證明該命題是對的，也無法證明該命題是錯的；我們可以乾脆將該命題直接加入該系統，當作新增的公設，並稱這個新的系統為「系統＋」，然而我們還是可以再製作出一個新的命題，讓「系統＋」無法證明其為真也無法證明其為偽；etc）。這個定理等於宣告了希爾伯設想（建構）中的「公設化幾何學」是不可能成功的。還有許多數學家據此推論：數學無法徹底排除直觀上的明晰性，一旦試圖徹底排除就會嚴重動搖（甚至顛覆）既有的一切數學體系（從最簡單的數學體系到最複雜的數學體系）——想進一步了解數學界對「直覺」的討論者可參考此文。
其次，集合論被視為形式主義的數學新礎石，然而當集合論開始把「無窮」納進討論對象時，卻一再出現各種詭論（參見《慾望的美學》第12章、「小說電影讀書會」裡關於《慾望的美學》第12章的講解之一、之二，或數學界的狹義解釋）。這個事實意味著：我們（包含不世出的頂尖數學天才）其實不瞭解「無窮」，卻又誤以為懂無窮，甚至自以為很嚴謹地在進行跟無窮有關的數學演繹，其實我們只是「自以為懂，實際上不懂」。
對我而言，以上兩個事實合起來意味著：我們在進行各種思考（省思、反思、批判性思考、哲學思辨等）時，既仰賴「直觀的明晰性」，又不時被「直觀的明晰性」誤導而「假不知而以為知」地漫談「無窮集合」、「絕對時間」、「絕對空間」、「時空的連續性」、「超驗邏輯」、「先驗道德法則」（放之四海而皆準的普世價值）、「天理」、「良心」，等等！！！
尤其是再加上相對論（時間與空間的相對性）與量子力學（測不準原理、互補原理、能量的不連續性等）對傳統直觀觀念與康德哲學的挑戰（顛覆），上述警訊益加鮮明而震撼。
• 未完，待續 •
